Terme
Das CAS System gibt automatisch eine vereinfachte Form eines Terms aus:
Beispiel: Die Eingabe \(x+2x+7y\) liefert die Ausgabe \(3\cdot x + 7\cdot y \)
Die Eingabe \( 2x \) wird automatisch um das Multiplikationszeichen ergänzt,
d.h. man erhält \( 2\cdot x\) als Eingabe.
Es ist darauf zu achten, dass \( x \cdot y \neq xy \) ist, wie das nebestehende Beispiel zeigt.
\(xy\) wird als eigensteändige Variable vom System angesehen.
Das Distributivgesetz wird für den Term
\(3 \ \cdot\) \(x\) \( \cdot \ y + 5 \ \cdot \)
\(x\) automatisch angwendet.
Man erhält \(x\) \( \cdot \ ( 3 \cdot y + 5 ) \)
Terme können sehr einfach eingegeben und verglichen werden. Die Überprüfung des
Assoziativgesetzes liefert für die Eingabe:
\( a+b+c = (a+b)+c \) die Antwort \(true\), d.h. die Terme sind Wertgleich.
\( a+b+c = (a+b)+c \) die Antwort \(true\), d.h. die Terme sind Wertgleich.
Aufgabe 1
- Überprüfe für die Addition und Multiplikation das Kommutativ- und Assoziativgesetz.
- Überprüfe das Distributivgesetz
- Überpfüfe die Gesetzte für das Subtrahieren und das Dividieren.
Gleichungen
können einfach eingetippt werden, z.B. \( 3x-7=5 \) .
Das CAS - System produziert die Ausgabe \( 3\cdot x-7=5 \).
Mit Hilfe eines rechten Maus-Klick's auf die Gleichung öffnet sich ein Menu, indem man unter der
Auswahl "Mathematische Aktion", die Gleichung Lösen oder "numerisch" Lösen lassen kann.
Die Auswahl "Lösen->Reell->nach x" liefert die Eingabe \( solve( 3\cdot x-7=5 ,x) \).
Das CAS liefert die Lösung: \( x=4 \)
Die Gleichung kann auch numerisch gelöst werden. Hierzu bestätigt man nach dem Rechtsklick auf die Gleichung
die Auswahl "Numerisch Lösen".
Das System fordert anschließend die Eingabe eines Startwertes und die Eingabe eines Suchintervalls.
In diesem Beispiel wurde
\(x=8\) als Startwert gewählt und das Suchintervall auf \(-10 \leq x \leq 10\) gesetzt.
Nach der Eingabe erscheint der entsprechende Befehl
\( nSolve(3\cdot x-7=5,x=8)| −10\leq x \leq 10 \).
Mit der Eingabe-Taste erhält man auch in diesem Fall die Lösung \(4.\)
Mit der Eingabe-Taste erhält man auch in diesem Fall die Lösung \(4.\)
Aufgabe 2
- Für das Subtrahieren und Dividieren erhält man bei der Überprüfung
der Rechengesetze keine Wahrheits-Antwort.
Untersuche die Gesetzte für das Subtrahieren und das Dividieren,
indem du die auftretenden Gleichungen mit dem CAS bearbeitest. -
Löse die Gleichung \( x^2 +5x = 3x+2\).
Nutze die Optionen Lösen, Numerisch Lösen und Quadratische Ergänzung.
Achtung: Die Option "Graph" wird erst im nächsten Teil behandelt.
Musterlösung
Die Eingabe der Gleichung kann noch vereinfacht werden, indem man nur die Ungleichung eingibt und mit Eingabe bestätigt. Anschließend tippt man auf die Ausgabe und wählt im Fenster "Mathematische Aktion -> Lösen" aus.
Tipp:Der Befehl zum Lösen kann auch über das Schraubenschlüsselsymbol eingefügt werden:
Schraubenschlüssel->Algebra->Löse
Das Algebra - Menu erleichtert in vielen Anwendungen die Eingabe der
Formeln, z.B. das Gleichungssystem aus der Aufgabe Esel und Maultier:
Zwei Esel tragen Säcke. Da sagt der eine Esel zum anderen:
„Wenn du mir einen Sack abgibst, dann tragen wir
beide gleich viele Säcke.“
Der andere Esel erwidert: „Wenn du mir einen Sack abgibst, dann trage ich doppelt
so viele Säcke wie du.“
Wie viel Säcke trägt der eine Esel, und wie viele der andere?
Aufgabenstellung: Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Gib die gesuchten Anzahlen an.
\[ \begin{eqnarray*} x+1 &=& 2 \cdot (y-1) \\ x-1 &=& y+1 \end{eqnarray*} \] Die folgende Bildserie beschreibt die Lösung des Problems:
Betrachten wie noch einmal die Gleichung \[ solve( 3\cdot x-7=5 ,x) \] mit der Lösung: \( x=4 \) Wählt man nun auf der Ausgabe die Option Graph, so erhält man die Gerade x=4. Die Darstellung der Lösung ist zwar richtig, aber nicht besonders schön. Gibt man stattdessen im Grafikfenster über das +-Symbol die beiden Terme \( 3x-7 \) und \( 5 \) als Funktionen ein so kann der Schnittpunkt mit der folgenden Sequenz bestimmt werden: Schraubenschlüssel (des Grafikfensters) -> Graph analysieren -> Schnittpunkt -> Auswahl "linke Grenze" tippen -> Auswahl "rechte Grenze" tippen -> Schnittpunkt wird angezeigt und die Koordinaten können abgelesen werden. An dieser Stelle kann die Ausgabe der Koordinaten mit dem Stellrad (oben rechts) mit Hilfe der Funktion "Angezeigte Ziffern" und "Exponentialformat" angepasst werden. Im nächsten Kapitel wird eine wesentlich elegantere Methode zur Lösung derartiger Probleme vorgestellt.
Zusammenfassung:
Die Definitionsmenge beschreibt die \( x \in \mathbb{R} \) für die \( f(x) \) einen sinnvollen Term darstellt und \( \mathbb{W}_f \) die Menge der Funktionswerte von \( f\).
Beispiel: \(f(x) = 3x + 7 \).
Gibt es ein \( x \in \mathbb{R} \), für das \( 3x + 7 \) kein Term darstellt. Das ist offensichtlich nicht der Fall, da für jedes \(x\) die Summe aus dem Produkt von \( 3 \) und \( x \) mit der Zahl \( 7 \) einen Term darstellt. Es gilt somit \( \mathbb{D}_f=\mathbb{R}.\) Der Wertebereich stellt alle Funktionswerte von \( f\) dar, d.h. \( \mathbb{W}_f = \{ y \; | \; y = f(x) \;, x \in \mathbb{D}_f \} \)
Die Frage könnte lauten: a) Welche Werte \( y \in \mathbb{R} \) nimmt die Funktion an ? b) Gibt es Werte \( y \in \mathbb{R} \) die nicht angenommen werden? Vorgehensweise: Wie sieht es in der Umgebung von Definitionslücken aus? Gibt es überhaupt Lücken? In unserem Beispiel gibt es keine Lücken, daher überprüfen wir zunächt drei Fälle: \[ y = f(x) \mbox{ für } x = 0 ,\; x<0 \mbox{ und für } x>0 ! \]
Eine Überprüfung mit dem CAS könnte wie folgt aussehen: x = 0
Der Graph \( G_f = \{ (x,y) | y=f(x) \}\)