DFG Strömung um einen Zylinder 2D-2, \( Re=100 \)
Dieser Benchmark simuliert das zeitperiodische Verhalten einer Flüssigkeit in einem Rohr mit einem kreisförmigen Hindernis.Die zugrundeliegende Geometrie ist ein Rohr ohne Kreiszylinder \( \Omega = [0,2.2] \times [0,0.41] ∖ \Omega_r(0.2,0.2) \) mit \( r=0.05 \). Nehmen wir eine Flüssigkeitsdichte von \( \rho = 1.0 \) , wird das Fluid durch die nichtstationären Navier-Stokes-Gleichungen charakterisiert \[ u_t − \nu \Delta u + u \cdot \nabla u + \nabla p = 0, \textrm{ div } u = 0, \] wobei \( u \) die Geschwindigkeit und \( p \) den Druck definert. Als kinematische Viskosität wird \( \nu = 0.001 \) angenommen.
Für die untere und obere Wand \( \partial \Omega_{bot} = [0,2.2]×0 \) und \( \partial \Omega_{top} = [0,2.2]×0.41 \) sowie den Rand \( \partial \Omega_K (0.2 , 0.2) \) setzen wir rutschfeste Randbedingungen, d.h. \( u_{|\partial \Omega_K}=0 \). Am linken Rand \( \partial \Omega_{in}=0×[0,0.41] \) , ist ein parabelförmiges Anströmprofil vorgeschrieben: \[ u_{in}(0,y)= \left( \begin{array}{c} u_{in}^x(x,y) \\ u_{in}^y(x,y) \end{array} \right), \mbox{ wobei } u_{in}^x(x,y) = \frac{1}{0.41^2} \cdot ( 4 \cdot U_{max} \cdot y\cdot (0.41−y) \mbox{ und } u_{in}^y(x,y) = 0, \] mit einer maximalen Geschwindigkeit \( U_{max} = 1.5 \).
Am rechten Rand \( \partial \Omega_{in}=2.2×[0,0.41] \) setzen wir die sogenannte , Do-Nothing-Randbedingung, \[ \nu \cdot \partial_n u − p\cdot n = 0 \] wobei \( n \) den äußeren Normalenvektor und \( \partial_n = \nabla u \cdot n \) die Ableitung in Normalenrichtung bezeichnet. Für eine maximale Geschwindigkeit von \( U = 1.5 \) ergibt das parabolische Profil eine mittlere Geschwindigkeit \[ U_{mean}=\frac{1}{0.41} \int_0^{0.41} u_{in}^x(0,y) dy = \frac{2}{3}\cdot 1.5 = 1.0. \] Die charakteristische Länge der Strömungskonfiguration ist \[ L = 2⋅0.05=0.1 \] und der Durchmesser des Objekts ist senkrecht zur Strömungsrichtung. Daraus ergibt sich eine Reynolds-Zahl \[ Re= \frac{ U_{mean} \cdot L }{\nu} = 100. \] Für diese Reynolds-Zahl geht die Strömung in ein zeitperiodisches Verhalten mit einer Wirbelablösung hinter dem Zylinder über. Dies wird in den folgenden Abbildungen unten visualisiert. Die Gleichung versteht sich daher wie folgt: \[ u_t − \nu \Delta u + u \cdot \nabla u + \nabla p = 0, \textrm{ div } u = 0, \] \[ \left . \begin{eqnarray*} u^x_t − \nu \Delta u^x + ( u^x\cdot \partial_x + u^y\cdot \partial_y ) \cdot u^x + \partial_x p &=& 0 \\ u^y_t − \nu \Delta u^y + ( u^x\cdot \partial_x + u^y\cdot \partial_y ) \cdot u^y + \partial_y p &=& 0 \\ u^x_x + u^y_y &=& 0 \end{eqnarray*} \right \} \mbox{ in } \Omega \]