Mathematik Oberstufe

Beispiel 1: Das Notenbeispiel.

Note123456Summe
abs. H.46855230
rel. H.\(\frac{4}{30}\)\(\frac{6}{30}\)\(\frac{8}{30}\) \(\frac{5}{30}\)\(\frac{5}{30}\)\(\frac{2}{30}\)\(\frac{30}{30}=1\)
rel. H. in % \(0,1\overline3 \approx 13,33 \% \) \(0,2 = 20 \% \) \(0.2\overline6 \approx 26,67 \% \) \(0.1\overline6 \approx 16,67 \% \) \(0.1\overline6 \approx 16,67 \% \) \(0.0\overline6 \approx 6,67 \% \)\( 100,01 \approx 100 \%\)
Der Mittelwert beträgt \[ \overline{x} = \frac{1}{30} \left ( 1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 2 \right ) = \frac{1}{30} \left ( 4 + 12 + 24 + 20 + 25 + 12 \right ) = \frac{1}{30} \cdot 97 \approx 3.2333 \] oder \[ \overline{x} \approx \left ( 1 \cdot 0.1333 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,2666 + 4 \cdot 0,1666 + 5 \cdot 0,1666 + 6 \cdot 0,0666 \right ) = 3.2321 \] Die Ergebnisse sind auf 2 Nachkommastellen identisch (Rundungsfehler)!

Beispiel 2: Mittelwertberechnung beim Weitsprung

Pia und Niklas trainieren für den Weitsprungwettkampf. Ihre Ergebnisse lauten
Name/Sprung 12345
Pia 3,53,84,54,23,9
Niklas 4,24,55,83,90
Der Mittelwert für Pia ergibt sich aus der Rechnung: \[ \frac{1}{5} \cdot \left ( 3,5 + 3,8 + 4,5 + 4,2 + 3,9 \right) = 3.98 m \] Der Mittelwert für Niklas ergibt sich aus der Rechnung: \[ \frac{1}{5} \cdot \left ( 4,2 + 4,5 + 5,8 + 3,9 + 0 \right) = 3.68 m \] Obwohl de Sprünge von Niklas einen Sprung von 5,8 m aufweisen, ist der Mittelwert kleiner als der Mittelwert von Pia. Jeder Sprung zählt natürlich nur einfach, d.h. die Sprungergebnisse werden nicht mit der Sprungnummer multipliziert.

Erwartungswert

Wenn bei einer Datenerhebung die Ergebnisse \( x_1, \ldots , x_n \) mit den Wahrscheinlichkeiten \( p_1, \ldots , p_n \) auftreten, dann heißt \[ \mu = x_1\cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n \] der Erwahrtungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Wert gibt an, welchen Mittelwert man bei ausreichender Versuchszahl auf lange Sicht erwartet.

Beispiel Münzwurf

Beim gleichzeitigen Werfen von zwei Münzen (Wappen / Zahl) können zwischen O und 2 Treffer (,Wappen") auftreten.
0 bedeutet Zahl Zahl
1 bedeutet Zahl Wappen oder Wappen Zahl
2 bedeutet Wappen Wappen


Die Wahrscheinlichkeit für einmal Wappen beträgt 0.5, für Wappen Wappen 0.5 * 0.5 = 0.25.
Die Wahrscheinlichkeit für einmal Zahl beträgt 0.5, für Zahl Zahl 0.5 * 0.5 = 0.25.
Die Wahrscheinlichkeit für einmal Wappen beträgt 0.5 und für einmal Zahl beträgt ebenfalls
0.5 * 0.5 = 0.25. Da dieser Fall aber 2 mal auftreten kann ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkiet von 0.25 + 0.25 = 0.5
Es ergibt sich die folgende Tabelle

Häufigkeit Wappen x \( x_1=\) 0 \( x_2 = \)1 \( x_3=\)2
Wkeit p \( p_1=\)0,25\( p_2=\)0,5\( p_3=\)0,25

Der Erwartungswert liegt daher \[ \mu = 0 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.25 = 1 \]

Anwendungsaufgabe

Jan bietet ein Glücksspiel an: Der Spieler zahlt einen Chip und darf dafür zwei Münzen werfen. Er erhält so viele Chips „als Gewinn", wie beide Münzen zusammen Zahl zeigen. Berechnen Sie den Erwartungswert der Verteilung. Deuten Sie ihn im Kontext des Spiels.
Gewinn x \( x_1=\) -1 Chip\( x_2 = \) 0 Chip \( x_3=\) 1 Chip
Wkeit p \( p_1=\)0,25\( p_2=\)0,5\( p_3=\)0,25
Erklärung der Tabelle: Würfelt man keine Zahl, verliert man den eingesetzten Chip ( - 1). Für einmal Zahl bekommt man einen Chip, d.h. man erhält den Einsatz von einem Chip zurück. Der Gewinn beträgt daher 0 Chips. Würfelt man zweimal Zahl, so erhält man 2 Chips, d.h. +1 Chip als Gewinn.

Der Erwartungswert liegt daher \[ \mu = -1 \cdot 0.25 + 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.25 = 0 \] Es handelt sich um ein faires Spiel, da auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust gemacht wird.