Quartalsaufgabe 1 - 2025
Viele kennen die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …,
bei der jede Zahl die Summe der zwei vorangegangenen Zahlen ist:
\[
f_{n} = f_{n-1} + f_{n-2} \mbox{ für } n \geq 3 \mbox{ und } f_1 = f_2 = 1
\]
Tatsächlich gibt es auch eine Formel , mit der sich jede beliebige
Fibonacci-Zahl berechnen lässt:
\[
F(n) = \frac{z^n-(-\frac{1}{z})^n}{\sqrt{5}}, \mbox{ wobei } z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
\]
Beachtenswert ist, dass der Funkitonswert von \( F(n) \) trotz der auftretenden Division
und der enthaltenden Wurzel aus 5 stets ganzahlig ist.
Aufgabenstellung: Beweisen Sie
\[
F(n) = f_n
\]
für \( n \geq 1 \). Hinweis: Vollständige Induktion.
Die Lösung kann im Lehrerzimmer oder auch Online im Schulportal MaIf - AG abgegeben werden.